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Normalverteilung

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Fehlersuche, DMS-Sensoren (mit integriertem Verstärker) Die Fehlersuche bei Sensoren, die auf Dehnungsmessstreifen (DMS) basieren und einen integrierten Verstärker besitzen, kann im Wesentlichen anhand folgender Stichpunkte durchgeführt werden. Aus der Standardnormalverteilungstabelle ist ersichtlich, dass für normalverteilte Zufallsvariablen jeweils ungefähr 68,3 % der Realisierungen im Intervall ±, 95,4.

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Die Speisung wird induktiv übertragen. Druck Druck ist definiert als Kraft pro Fläche. Dadurch sind hohe Bandbreiten möglich - nicht nur bei piezoelektrischen, sondern auch bei DMS -basierenden Sensoren. Die Resonanzfrequenz hängt von der Dicke der Membran, der verwendeten sensitiven Elemente und der Viskosität des Mediums ab.

Bei Verwendung eines Schutzgitters - oder generell bei einer nicht frontbündigen, nach hinten versetzten Membran - sinkt die Bandbreite des Sensors. Durch die frontbündige Membran werden Tot-Volumen reduziert und damit Messfehler vermieden. Druckaufnehmer, piezoelektrische Ein piezoelektrischer Druckaufnehmer ist ein Messwertaufnehmer , der zur Messung von quasistatischen und dynamischen Drücken geeignet ist.

Das Sensormaterial ist aus Quarz, Keramik oder Tourmaline. Er ist zur Messung von statischen 0 Hz und dynamischen Drücken geeignet. Druckaufnehmer, mit zurückgezogener Membran Im Gegensatz zu frontbündigen Druckaufnehmern befindet sich bei dieser Bauform ein Verbindungsrohr zwischen Membran und Montagebohrung. Dieses wird als Druckkanal bezeichnet. Das hierdurch entstehende Tot-Volumen kann zu Messfehlern führen.

Druckaufnehmer mit zurückgezogener Membran sind in der Dynamik eingeschränkt, da durch den Druckkanal ein akustisches System entsteht. Sie sind jedoch preiswerter und unempfindlicher as frontbündige Druckaufnehmer.

Druckkanal Als Druckkanal wird bei Druckaufnehmern mit zurückgezogener Membran das Verbindungsrohr zwischen Membran und Montagebohrung bezeichnet. Dadurch entsteht ein Tot-Volumen , das Messfehler verursachen kann. Es besteht mindestens aus Sensor ggf. Druckport Ein Druckport ist die Öffnung an einem Druckaufnehmer mit zurückgezogener Membran , die dazu dient, ihn mit dem zu messendem Druck zu verbinden. Trotz sorgfältiger Kontrolle übernehmen wir keine Haftung für die Inhalte externer Links.

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Sie besteht aus einem Sensor einem Spannung-Strom-Konverter und Signalverarbeitungsmodul einer Stromversorgung meistens 24V und einem Messgerät Messwertaufnehmer , dessen Ausgangssignal ein Stromsignal ist z. Mit dem Strom von mindestens 4 mA kann der Sensor versorgt werden. Das Spannungssignal des Sensors wird in ein Stromsignal umgewandelt 20mA max.

Ein weitere positiver nebeneffekt ist, dass sich ein Kabelbruch festestellen lässt, falls der Strom unter 4 mA sinkt. Es ist auch möglich mit einem Drei-Leitersystem die Spannungsversorgung des Sensors vom Stromkreis zu trennen. Ein mA Stromkreise ist in diesem Fall auch möglich, da hier die 4mA für die Versorgung des Sensors nicht mehr benötigt wird.

Spannungssignale werden bei langen Kabelstrecken verfälscht da die Spannung aufgrund des Kabelwiderstands abfällt. Durch möglichst hochohmige Eingänge und abgeschirmte Kabeln lässt sich der Messfehler minimieren. Bei der Stromübertragung sind Fehler auf Grund des Kabelwiderstands ausgeschlossen, denn obwohl Spannungsabfälle entstehen 'loop drops' genannt — bleibt das mA Signal erhalten, da die Elektronen im Stromkreis nicht 'verloren gehen' können.

Störströme sind hierbei klein im Vergleich zu den Sensorströmen. Durch den Einsatz von verdrillten Kabeln lassen sich induktive Störungen minimieren. Um dies zu vermeiden, wird eine Fühlerleitung am Speisungsanschluss des Sensors hinzugefügt auch Sense genannt , die es ermöglicht, diesen Spannungsabfall zu messen und zu korrigieren.

Dieses Feld wiederum ist in der Lage, elektrische Ladungen zu beeinflussen Influenz. Daher müssen Messeinrichtungen durch eine geeignete Abschirmung vor elektromagnetischen Feldern geschützt werden, damit es dort nicht zu Fehlerspannungen kommt, die das Messergebnis verfälschen.

Die Abschirmung besteht aus eine metallischen Hülle, die als faradayscher Käfig wirkt. Absolutdruck Der Absolutdruck ist der Druck, der relativ zum absoluten Vakuum festgelegt auf 0 bar gemessen wird. Laut dem Nyquist Theorem sollte die Abtastrate höher als 2 mal so hoch sein, wie die höchste zu messende Frequenz, um Aliasingeffekte zu vermeiden. Dies ist für die Ermittlung der Frequenz zwar richtig, nicht jedoch für die Wiedergabe der Amplitude.

Ist die Abtastrate genau 2 mal so hoch, dann kann es im schlimmsten Fall dazu führen, dass zwar die Frequenz stimmt, aber die Amplitude Null ist. Dies wird im obigen Beispiel verdeutlicht, wobei dort die Abtastrate etwas höher ist als zweifach, um das Prinzip zu verdeutlichen. Wo die einzelnen Abtastpunkte liegen, kann man zwar bei einer reinen Sinus-Welle mit einem analogen Trigger beeinflussen, bei komplexeren Signalen ist dies aber dem Zufall überlassen.

Schon ab einem Faktor drei erhält man allerdings eine ziemlich genaue Wiedergabe des Signals. Bei einer 5 mal höheren Abtastrate beträgt die Amplitude ca. Möchte man also eine genaue Wiedergabe des ursprünglichen Signals erhalten, sollte man mindestens 3 mal höher abtasten.

Um das Messen sowohl des unverfälschten Signals als auch nur des Wechselspannungsanteils des Signals zu ermöglichen, bieten viele Messgeräte - wie Oszilloskope - zwei verschiedene Arten der Ankopplung des Sensorsignals, wie hier am Beispiel eines typischen IEPE-Signals dargestellt: AC Coupling kapazitive oder Wechselspannungs-Kopplung: Hier wird ein Kondensator in Reihe mit dem Signal angeschlossen.

Das -Signal wird direkt mit dem -Eingang verbunden. Die mögliche Genauigkeit, mit der die Amplitudenwerte erfasst werden können, hängt dabei von der Anzahl der verwendeten Bits z. Will man diesen Aliasingeffekt vermeiden - also erfahren, welche Frequenzen tatsächlich in einem Signal auftreten - muss man es mit mindestens der doppelten Abtastrate der höchsten auftretenden Frequenz erfassen: Will man zusätzlich den Amplitudenverlauf realistisch abbilden, muss man die Abtastrate weiter erhöhen, z.

Dieser unterdrückt Signalfrequenzen oberhalb der halben eingestellten Abtastrate. Besonders hier ist der Anti-Aliasingfilter sinnvoll, da sonst zu niedrige Frequenzen angenommen werden. Die Richtline ist verbindlich seit dem 1. Sie hängt von dem Messverfahren und eventuell vorhandenem Rauschen ab.

Dieser Offset kann nicht durch Tarieren , sondern lediglich durch Zwischenschalten eines Kondensators eleminiert werden. Der Trennverstärker dient dazu das Sensorsignal zu reproduzieren, ohne die Quelle zu belasten und schützt das Signal gegenüber impedanzbedingten Verfälschungen. Idealerweise sollte die Ausgangsimpedanz eines Sensors fast null und die Eingangimpedanz des Messgeräts unendlich hoch sein, damit solche Verfäschungen nicht vorkommen.

In so einem Fall ist es sinnvoll einen Trennverstärker mit hohem Eingangs- und niedrigem Ausgangswiderstand zwischen Sensor und Messgerät zu schalten.

Üblicherweise wird zwischen 8 und 64 Einzelversuche gemittelt. Die Autoleistungsdichte ist eine reelle Funktion, die stets positiv ist und beinhaltet keine Phaseninformation. Daher darf dieser Druck keinesfalls überschritten werden. Allerdings kann es bereits bei Drücken unterhalb des Berstdrucks zu dauerhaften Änderungen der Spezifikationen kommen. Die Neigung errechnet sich aus dem Arkussinus der Beschleunigung siehe untere Abbildung. Da das Ausgangssignal eines Beschleunigungsaufnehmers proportional zur Beschleunigung und nicht zum Winkel ist: Diese Art der Darstellung nennt man auch Zeigerdiagramm Beispiel: Wird ein Beschleunigungsaufnehmer als Neigungssensor eingesetzt ist folgendes zu beachten: Beschleunigungssensoren können nicht zwischen Ursachen einer Beschleunigung unterscheiden.

Alle Beschleuniungen die aber unter der Grenzfrequenz des Tiefpass Filters liegen, werden auch gemessen. Zusammenfassend kann man sagen, dass es sinnvoll ist Neigungssensoren grundsätzlich mit einem Tiefpass Filter mit niedriger Grenzfrequenz zu versehen. Beschleunigungsaufnehmer Ein Beschleunigungsaufnehmer ist ein Messwertaufnehmer zur Messung von Beschleunigungen, die bei Bewegung oder Vibration entstehen. Diese Kraft verformt das sensitive Element des Sensors.

Diese Verformung wird in ein zur Beschleunigung proportionales Signal umgesetzt. Sonst ist die Verfälschung des Ergebnisses durch die Sensormasse nicht vernachlässigbar: Beschleunigungsaufnehmer, kapazitiv Kapazitive Beschleunigungsaufnehmer bestehen aus zwei festen Kondensatorplatten und einer seismischen Masse als bewegliche Kondensatorplatte, die sich zwischen den festen Kondensatorplatten bewegen kann.

Beschleunigungsaufnehmer, MEMS Bedingt durch Fortschritte in der Mikromechanik und die damit verbundene Kostenoptimierung, werden viele kapazitive und piezoresistive Beschleunigungsaufnehmer mikromechanisch gefertigt.

Hierbei werden die mechanischen Strukturen bestehend aus einer seismischen Masse, die von ein, zwei oder vier Biegebalken getragen wird, und die Schutzkappen mikromechanisch geätzt. Die oberen und unteren Siliziumschichten dienen als mechanische Anschläge und schützen den Sensor vor starken Überlastungen. Das dünne Luftpolster zwischen seismischer Masse und Schutzkappe wirkt als mechanisches Tiefpassfilter , und verhindert dass die seismische Masse im Resonanzbereich schwingt.

Bei den piezoresistiven Beschleunigungsaufnehmern werden die piezoresistiven Widerstände direkt durch Ionenimplantation in die Biegebalken integriert. Die Widerstände werden als Vollbrücke geschaltet. Bei kapazitiven Beschleunigungsaufnehmern führt eine auftretende Beschleunigunung zu einer Änderung der Position der seismischen Masse und somit zu einer Änderung der Kapazitäten der beiden Kondensatoren. Die Brückenschaltung wird von einer konstanten Wechselspannung gespeist.

Eine Änderung der Kapazitäten führt zu einer Verstimmung der Brücke und es entsteht eine amplitudenmodulierte Wechselspannung. Dieses Signal wird gleichgerichtet und verstärkt und man erhält ein zur Beschleunigung proportionales Ausgangssignal.

Die seismische Masse wird auf einem piezoelektrischen Quarz montiert. Eine externe Elektronik wird also benötigt, um ein zur Beschleunigung proportionales Spannungssignal zu erzeugen. Der Messbereich eines piezoelektrischen Beschleunigungsaufnehmers kann mit Hilfe der seismischen Masse oder mit Hilfe der Elektronik eingestellt werden. Es gibt mehrere Bauarten piezoelektrischer Beschleunigungsaufnehmer: Kompressionsbauform Compression-Mode Hierbei ist der Quarz direkt zwischen Montageplatte und seismischer Masse montiert.

Er wird mit Druck belastet longitudinaler piezoelektrischer Effekt. Scherbauform Shear Mode Hierbei ist der Quarz nicht direkt zwischen Montageplatte und seismischer Masse montiert, sondern wird auf Scherung beansprucht transversaler piezoelektrischer Effekt. Diese Bauform ist unempfindlich gegen Querbeschleunigungen und wird meistens für seismische Anwendungen eingesetzt. Die Bandbreite ist niedriger als bei Sensoren mit Kompressionsbauform und Scherbauform.

Piezoelektrische Beschleunigungsaufnehmer sind nicht für statische Anwendungen geeignet. Die untere Grenze wird durch die Entladezeitkonstante bestimmt.

Die obere Grenze wird durch die Resonanzfrequenz bestimmt. Beschleunigungsaufnehmer, piezoresistiv Piezoresistive Beschleunigungsaufnehmer basieren prinzipiell auf den unter " Beschleunigungsaufnehmer " beschriebenen Prinzip. Eine auftretende Beschleunigung bewegt die seismische Masse und die folgende Krümmung der Biegebalken führt zu einer Änderung der Widerstände der Dehnungsmessstreifen, und somit zu einer Verstimmung der Wheatstoneschen Messbrücke.

Die Brückenschaltung liefert ein zur Beschleunigung proportionales Signal. Piezoresistive Beschleunigungsaufnehmer sind geeignet für Anwendungen zwischen 0 Hz statische Beschleunigung und 2 kHz. Wobei die obere Grenzfrequenz abhängig vom Messbereich ist. Beschleunigungsaufnehmer, Servo Servobeschleunigungsaufnehmer, auch Krafkompensierte Beschleunigungsaufnehmer genannt, erkennen die Bewegung der seismischen Masse, und erzeugen durch ein Signal eine Rückstellungskraft, um die Masse im ursprünglichen neutralen Zustand zu halten.

Traditionell wird die Rückstellungskraft durch Schwingspulen erzeugt. Durch die Kraftkompensierung kann eine deutlich höhere Auflösung und Genauigkeit erreicht werden; daher werden die Sensoren für seismische Datenüberwachung eingesetzt, beispielsweise für Erdbebenerkennung und Bewegungserkennung und -Identifizierung. Eine Beschleunigung der seismischen Masse führt zu einer Kapazitätsänderung durch die Bewegung der Masse zwischen den Abdeckkappen.

Diese Änderung wird durch einen eingebauten ASIC in eine Spannung umgerechnet, und wird an den Abdeckkappen angelegt um die seismische Masse in neutraler Position zu halten. Die elektostatisch erzeugte Rückkopplungsspannung ist proportional zur Rückstellungskraft und somit zur Beschleunigung.

Sie sind preiswerter, sie sind viel robuster als magnetische Servobeschleunigungsaufnehmer da die Aufhängung nicht so empfindlich ist, Magnete und Spulen werden nicht benötigt und elektromagnetische Störungen können fast eliminiert werden. Dazu werden Tests mit definierten wirklichkeitsnahen Belastungen durchgeführt, um eine ausreichende Sicherheit während der geforderten Nutzungszeit zu gewährleisten und dabei eine wirtschaftliche Konstruktion zu ermöglichen.

Dabei werden Messungen Weg, Beschleunigung, Geschwindigkeit an einer Vielzahl von Punkten durchgeführt und die Bewegung der Struktur beispielsweise als animiertes Modell dargestellt. In der Betriebsschwingformanalyse wird nur das Antwortsignal analysiert und nicht das Verhältnis der Antwort- und Erregersignale wie in der Modalanalyse. Sie erfolgt in der in der Entwicklungsphase vor einer detaillierten Modalanalyse um diese gezielter durchführen zu können. Zusammen mit der Steifigkeit wird sie benötigt, um die Resonanzfrequenz des Systems und somit die Bandbreite der erhaltene Messsignale zu ermitteln.

Ist der Sensor nicht in einem System integriert, spricht man von der Eigenmasse. Die obige Abbildung zeigt ein typisches "Bit-Rauschen"-Signal. Man erkennt es durch den zackigen Kurvenverlauf, der an keiner Stelle eine kontinuierliche Kurve ist. Bit-Rauschen wird verursacht durch: Hier erkennt man, dass das Sensorsignal nicht verrauscht ist. Der Signalverlauf wurde jedoch mit einem Digitaloszilloskop aufgenommen. Digitaloszilloskope besitzen meistens eine Auflösung von 8 Bit. Dies bedeutet, dass der gesamte Bereich in 2 8 , also , Teile aufgeteilt wird.

Die Mitte ist Bit und entspricht einer Amplitude von 0. Der in der Abbildung dargestellte Abschnitt des Signals verläuft zwischen Bit und In diesem Beispiel den Bits , oder Dadurch entsteht das typische Bit-Rauschen-Muster. Analogoszilloskope haben den Vorteil, dass man den tatsächlichen Signal-Verlauf sieht. Würde man also das Signal mit einem Analogoszilloskop darstellen, erhielte man auch kein verrauschtes Signal. Kombinierte Analog-Digital Oszilloskope sind daher vorteilhaft.

Hier kann man entweder die Signalverläufe digital aufzeichnen und auswerten oder das Bit-Rauschen vermeiden, in dem man den Signalverlauf analog darstellt. Ein Beispiel ist das Frequenzverhalten der Amplitude und Phase eines Butterworth-Filters Ein weiteres Beispiel ist die Darstellung des Einflusses der Entladezeitkonstante auf die untere Grenzfrequenz eines piezoelektrischen Sensors in abhängigkeit der Dämpfung.

Dies kann mit einem Sägezahnsignal verdeutlicht werden: Bonden, Bonddrähte Das Bonden Englisch: Bruchlast Die Bruchlast stellt die Sicherheitsgrenze bei Messwertaufnehmern vor allem bei Kraftaufnehmern dar. Bei Überschreitung der Bruchlast kann es zur Zerstörung des Aufnehmers kommen.

Nach Joukowski gilt für die Druckänderung: Hierbei geht die Strömung von einer stationären in eine instationäre Strömung über. Hier findet ein Phasenwechsel an der Störstelle statt. Man kann oft den dadurch verursachten Wasserhammer hören! Viel mehr müssen auch evtl. Dünnschichttechnik Die Dünnschichttechnik ist wie die Dickschichttechnik ein Verfahren zur Herstellung kleiner passiver Bauelemente wie z.

Die Dünnschichttechnik ist die übliche Methode, Sensorelemente für Druck -, Kraft - und Beschleunigungsaufnehmer herzustellen. Jedes einzelne dieser Bauelemente nennt man dye. Eichen Ist ein Messgerät im öffentlichen Interesse besonders schützenswert z. Waagen , dann ist eine staatliche Kontrolle notwendig und man spricht vom Eichen und nicht vom Kalibrieren. Bei Kraftaufnehmern ist es die Resonanzfrequenz im unmontierten Zustand. Eigenmasse, M Die Eigenmasse ist die Masse eines nicht montierten Kraftaufnehmers, die sich bei einer Krafteinleitung bewegt.

Als Einschwingzeit wird die Zeitspanne bezeichnet, die vergeht, bis das Ausgangssignal in bestimmten Grenzen z. Die Verformungen sind in diesem Bereich elastisch. Da sie allerdings nicht mit der dafür notwendigen Genauigkeit bekannt ist, wurde der Wert festgelegt auf: Die Deformation ist proportional zum Quadrat des Feldes im Unterscheid zur piezoelektrischen Effekt bei der sie linear ist.

Die Deformation ist auch unabhängig von der Richtung des angelegten Feldes. Beispielsweise wird auf einer Messstrecke ein Schwarz-Weiss-Muster angebracht, das beim Verfahren optisch gescannt wird. Die Weginformationen werden dabei als Zählimpusle ausgegeben.

Und ebenso lassen sich umgekehrt für gegebene Wahrscheinlichkeiten die maximalen Abweichungen vom Erwartungswert finden:. Theorie der Bewegung der in Kegelschnitten sich um die Sonne bewegenden Himmelskörper , das neben der Methode der kleinsten Quadrate und der Maximum-Likelihood-Schätzung die Normalverteilung definiert.

Ebenfalls Laplace war es, der den Satz vom zentralen Grenzwert bewies, der die Grundlage der theoretischen Bedeutung der Normalverteilung darstellt und de Moivres Arbeit am Grenzwertsatz für Binomialverteilungen abschloss. Die Wahrscheinlichkeitsdichte einer normalverteilten Zufallsvariable hat kein definites Integral, das in geschlossener Form lösbar ist, sodass Wahrscheinlichkeiten numerisch berechnet werden müssen. Die Wahrscheinlichkeiten können mithilfe einer Standardnormalverteilungstabelle berechnet werden, die eine Standardform verwendet.

Um das zu sehen, benutzt man die Tatsache, dass eine lineare Funktion einer normalverteilten Zufallsvariablen selbst wieder normalverteilt ist. Als Folgerung daraus ergibt sich die Zufallsvariable [5]. Die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung ist gegeben durch.

Die mehrdimensionale Verallgemeinerung ist im Artikel mehrdimensionale Normalverteilung zu finden. Die Verteilungsfunktion der Normalverteilung ist durch.

Der Graph der Wahrscheinlichkeitsdichte f: Mit Hilfe der ersten und zweiten Ableitung lassen sich der Maximalwert und die Wendepunkte bestimmen. Die erste Ableitung ist. Für die Normiertheit des letzteren Integrals siehe Fehlerintegral. Ein elementarer Beweis wird Poisson zugeschrieben. Aus der Standardnormalverteilungstabelle ist ersichtlich, dass für normalverteilte Zufallsvariablen jeweils ungefähr.

Da in der Praxis viele Zufallsvariablen annähernd normalverteilt sind, werden diese Werte aus der Normalverteilung oft als Faustformel benutzt. Solche kontaminierten Normalverteilungen sind in der Praxis sehr häufig; das genannte Beispiel beschreibt die Situation, wenn zehn Präzisionsmaschinen etwas herstellen, aber eine davon schlecht justiert ist und mit zehnmal so hohen Abweichungen wie die anderen neun produziert.

Es kann den Daten aber auch eine stark schiefe Verteilung zugrunde liegen. Andererseits liegt bei einer Normalverteilung im Durchschnitt ca. Bei unbekannter Verteilung d. Bei einer Stichprobe von 1. Um die Wölbungen anderer Verteilungen besser einschätzen zu können, werden sie oft mit der Wölbung der Normalverteilung verglichen. Die kumulantenerzeugende Funktion ist. Die momenterzeugende Funktion der Normalverteilung lautet.

Dann sind ihre ersten Momente wie folgt:. Die Normalverteilung ist invariant gegenüber der Faltung , d. Somit bildet die Normalverteilung eine Faltungshalbgruppe in ihren beiden Parametern. Eine veranschaulichende Formulierung dieses Sachverhaltes lautet: Das kann beispielsweise mit Hilfe von charakteristischen Funktionen gezeigt werden, indem man verwendet, dass die charakteristische Funktion der Summe das Produkt der charakteristischen Funktionen der Summanden ist vgl.

Dann ist deren Summe wieder normalverteilt. Ist eine normalverteilte Zufallsvariable die Summe von unabhängigen Zufallsvariablen, dann sind die Summanden ebenfalls normalverteilt. Die Normalverteilung hat die Entropie: Falls diese Bedingung nicht erfüllt sein sollte, ist die Ungenauigkeit der Näherung immer noch vertretbar, wenn gilt: Die Entstehung einer logarithmischen Normalverteilung ist auf multiplikatives, die einer Normalverteilung auf additives Zusammenwirken vieler Zufallsvariablen zurückführen.

Für eine zunehmende Anzahl an Freiheitsgraden nähert sich die Student-t-Verteilung der Normalverteilung immer näher an.

Als Faustregel gilt, dass man ab ca. Die Student-t-Verteilung wird zur Konfidenzschätzung für den Erwartungswert einer normalverteilten Zufallsvariable bei unbekannter Varianz verwendet.

Stattdessen wird einfach die Transformation.

Literatur und weiterführende Informationen

Die Wahrscheinlichkeitsdichte einer normalverteilten Zufallsvariable hat kein definites Integral, das in geschlossener Form lösbar ist, sodass Wahrscheinlichkeiten numerisch berechnet werden müssen. Der Verstärker wird mit 15 V monopolar gespeist und liefert ein Ausgangssignal von 0,5 bis 7 V bei einer monopolaren Speisung hat man einen positiven Nullpunkt-Offset, in diesem Fall 0,5 V Angaben aus dem Kalibrierzeugnis:

Closed On:

Digitaloszilloskope besitzen meistens eine Auflösung von 8 Bit. Dies kann inbesondere dann hilfreich sein, wenn dem Sensor noch Geräte zur Signalverarbeitung nachgeschaltet sind.

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